C＃算法設(shè)計與區(qū)分－尋找素數(shù)

    在這篇文章中，我將使用C＃編制兩個尋找素數(shù)的算法，說明算法設(shè)計的重要性以及算法的分析。

       素數(shù)尋找問題由來已久，一直是一些數(shù)學(xué)家追求的目的。關(guān)于素數(shù)的定義及性質(zhì)，我就不在這里多敘了，相信大家都對此了如指掌。素數(shù)的尋找思路比較的簡單，根據(jù)素數(shù)的性質(zhì)（素數(shù)應(yīng)該不能被除了1和它自身的其他數(shù)整除）我們可以從最小的素數(shù)2開始，一直到比它小1的數(shù)為止，用這些數(shù)去整除它，如果它能被整除則它必定不是素數(shù)，這是判斷單個素數(shù)的方法（這個算法思想最簡單，時間復(fù)雜度最大）。對于尋找比某一個給定的整數(shù)值小的所有素數(shù)也可以采用這種方法，不過我們會發(fā)現(xiàn)，采用這種單個判斷的方法所耗的時間比較多。比如查找不大于10的素數(shù)，我們必須從2開始一個個判斷，共需判斷9個數(shù)，事實上按照我們后面講述的方法，只需循環(huán)2次就可以了。因此，下面的兩種方法都將基于刪除法來做。

       我們來看看刪除法的思想：

1．  將小于給定整數(shù)值n的所有正整數(shù)加到一個數(shù)組中；

2．  刪除能夠被一些整數(shù)整除的數(shù)；

3．  數(shù)組中遺留的元素就是最后要得到的素數(shù)序列。

對于第二步，我們將給出兩種方法來實現(xiàn)。我們先來看看算法：

算法一：

class prime

     {

         public static int[] PrimeList;

         public  static void FindPrime(int n)

         {

              int[] IntList;

              IntList=new int[n];             

              for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

              for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

              {

                   int j=p+1;

                   while (j<=n)

                   {

                       if ((IntList[j-1]!=0 ) && ((IntList[j-1]% p)==0) ) IntList[j-1]=0;

                       j=j+1;

                   }

              }

              int i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0) i=i+1;

              }

              PrimeList=new int[i];

              i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0)

                   {

                       PrimeList[i]=IntList[p-1];

                       i=i+1;

                   }                 

              }

         }

     }
 

這這個算法中，刪除的數(shù)是那些被從2開始直到n的平方根的整數(shù)整除的數(shù)。這個算法比起前面介紹的單個素數(shù)的尋找方法要好，它的循環(huán)次數(shù)減少了一多半，但是這個算法還不是最理想的：

1．              例如，6既能被2整除，也能被3整除，那么當(dāng)p＝2時，6被刪掉了一次；當(dāng)p＝3時，6又被刪除了一次，雖然按照我們設(shè)定的算法規(guī)則，這不會導(dǎo)致沖突（通過判斷IntList數(shù)組元素是否為0，若為0就不必重復(fù)刪除），但是這會使得算法的效率低下。

2．              還有計算素數(shù)序列元素個數(shù)時，我們也走了彎路。第一步，我們先計算出了數(shù)組元素大小，第二步才開始賦值，事實上這兩步我們可以減去計算數(shù)組大小這一步，可以把它放在前面完成。

3．              已經(jīng)被刪除了的元素，也就是那些不是素數(shù)的元素，可以不用拿他們?nèi)フ�除整�?shù)，例如4不用拿去整除8，因為能被4整除的數(shù)肯定能被2整除，已經(jīng)在前面循環(huán)中被刪除了。

基于上述考慮，我們得到了一個效率更加高的算法：

class primegood

     {

         public static int[] PrimeList;

         public static void FindPrime(int n)

         {

              int[] IntList;

              int len=n-1;

              IntList=new int[n];

              for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

              for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

              {

                   if (IntList[p-1]==0) continue;

                   int j=p*p;

                   while (j<=n)

                   {

                       if (IntList[j-1]!=0 )

                       {

                            IntList[j-1]=0;

                            len=len-1;

                       }

                       j=j+p;

                   }

              }

              PrimeList=new int[len];

              int i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0)

                   {

                       PrimeList[i]=IntList[p-1];

                       i=i+1;

                   }                 

              }

         }

     }
 

這個算法思想和前面的算法完全一樣，不過改正了上面算法中不完善的一些內(nèi)容。

為了說明這兩個算法的效率區(qū)別，我們編制了如下的主程序來比較一下他們的差異：

static void   Main()

         {

              Console.WriteLine("Start!");

              DateTime mytime5=DateTime.Now;

              primegood.FindPrime(100000);

              /*for (int i=0;i<=primegood.PrimeList.Length-1;i++)

              {

                   Console.WriteLine(primegood.PrimeList[i]);

              }*/

              DateTime mytime6=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd3=mytime6-mytime5;

              Console.WriteLine(timeadd3.Ticks);

              DateTime mytime1=DateTime.Now;

              prime.FindPrime(100000);

              DateTime mytime2=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd=mytime2-mytime1;

              DateTime mytime3=DateTime.Now;

              primegood.FindPrime(100000);

              DateTime mytime4=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd2=mytime4-mytime3;

              Console.WriteLine(timeadd.Ticks);

              Console.WriteLine(timeadd2.Ticks);

         }

     }
 

通過運行這個程序，可以發(fā)現(xiàn)他們的差別是如此的大（前面的算法所耗時間幾乎是后面算法的30－60倍），參見下圖：

    事實上，這兩個算法的時間復(fù)雜度近似為：⊙（n1.5）；⊙（n）；可見，對于同一個問題有著多種不同復(fù)雜性的算法實現(xiàn)，算法設(shè)計是一門十分重要的學(xué)問。